HDU6222 打表/pell方程、高精度

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给一个 $n$，找出最小大于等于 $n$ 的最小的 $t$，三角形的三边长为$t-1,t,t+1$且面积为整数。
$(n\le10^{30})$

分析

  • 首先$10^{30}$肯定高精度了，或者$int128$。
  • 根据海伦公式可以推出面积和t的关系，暴力打表/推pell方程 可以得出$t[i]=4*t[i-1]-t[i-2]$
  • 这个在$10^{30}$的范围内肯定不超过100项，用$c++$或者$Java$暴力递推即可

正常做法：

  • 海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$(其中$p$为半周长)
  • 即$S=\sqrt{\frac{3t}{2}(\frac{3t}{2}-(t-1))(\frac{3t}{2}-t)(\frac{3t}{2}-(t+1))}$
  • 令$x=\frac{t}{2}$
  • 则$S=\sqrt{3x^2(x-1)^2}$
  • 要想$S$为$Z^+$，则$(x^2-1)=3y^2$的这种形式，即$x^2-3y^2=1$， 可以看出$pell$方程，按照$pell$方程求通解即可
  • 还是打表找通项好啊
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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxsize 1005

string str;
//建立一个结构体
struct hp
{
    int len;//用来存储转化为整型后的长度
    int s[maxsize+1];//用来存储每一位
};
//copy  函数把b  copy给a
void copy(hp &a,hp &b)
{
    a.len=b.len;
    for(int i=1;i<=b.len;i++)
        a.s[i]=b.s[i];
}
//输入函数
void input(hp &a,string str)
{
    int i;
    while(str[0]=='0' && str.size()!=1)
        str.erase(0,1);//删除第一个元素
    a.len=(int)str.size();//把str的长度复制给a的len
    for(i=1;i<=a.len;++i)
        a.s[i]=str[a.len-i]-48;//a数组存储每一位，并且字符要逆向存入数组
    for (i=a.len+1;i<=maxsize;++i)
        a.s[i]=0;//剩下的为0
}
//输出函数
void print(const hp &y)
{
    int i;
    for(i=y.len;i>=1;i--)//注意输出是要后面向前输出i=y.len
        printf("%d",y.s[i]);
    cout<<endl;
}

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// 高精度加法
void plusk(const hp &a,const hp &b,hp &c)
{
    int i,len;
    for(i=1;i<=maxsize;i++)
            c.s[i]=0;//初始化数组可以用memset
    //len为两者中的最大值
    if(a.len>b.len)
           len=a.len;
    else
          len=b.len;
    //计算
    for(i=1;i<=len;i++)
    {
        c.s[i]+=a.s[i]+b.s[i];//注意这里是c.s[i]+=a.s[i]+b.s[i]
        if(c.s[i]>=10)//考虑进位思想
        {
            c.s[i]-=10;
            c.s[i+1]++;
        }
    }
    if(c.s[len+1]>0) //最后一位有进位情况
         len++;
    c.len=len;
}
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// 高精度减法
void subtract(const hp &a,const hp &b,hp &c)
{
    int i,len;
    for(i=1;i<=maxsize;i++)
          c.s[i]=0;//初始化为0
    //求最大的长度
    if(a.len>b.len)
          len=a.len;
    else
         len=b.len;
    //减法计算
    for(i=1;i<=len;i++)
    {
        c.s[i]+=a.s[i]-b.s[i];//这个地方注意c.s[i]+=a.s[i]-b.s[i]
        if(c.s[i]<0)//如果小于0则要向前借位
        {
            c.s[i]+=10;//这里对应加10
            c.s[i+1]--;//前一位减1
        }
    }
    while(len>1&&c.s[len]==0)
           len--;//舍去前面的0
    c.len=len;
}
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// 高精度比较
int compare(const hp &a,const hp &b)
{
    int len;
    //求最大的长度
    if(a.len>b.len)
        len=a.len;
    else
        len=b.len;
    while(len>0 && a.s[len]==b.s[len])
        len--;
    if(len==0) //如果两个相等
        return 0;
    else
        return a.s[len]-b.s[len];//a.s[len]-b.s[len]如果是负数则说明a小于b，反之
}

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// 高精度*单精度
void multiply(const hp &a,int b,hp &c)
{
    int i,len;
    for(i=1;i<=maxsize;i++)
         c.s[i]=0;//初始化为0
    len=a.len;
    //计算乘法
    for(i=1;i<=len;i++)
    {
        c.s[i]+=a.s[i]*b;//把每一位乘上b存到结构体C里，这里是 c.s[i]+=a.s[i]*b
        //进位思想
        c.s[i+1]+=c.s[i]/10;
        c.s[i]%=10;
    }
    //处理进位
    len++;
    while(c.s[len]>=10)
    {
        //进位运算
        c.s[len+1]+=c.s[len]/10;
        c.s[len]%=10;
        len++;
    }
    while(len>1&&c.s[len]==0)
          len--;//舍去前面没用的0
    c.len=len;
}


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// 高精度*高精度
void multiplyh(const hp &a,const hp &b,hp &c)
{
    int i,j,len;
    for(i=1;i<=maxsize;i++)
         c.s[i]=0;//初始化为0
    //计算
    for(i=1;i<=a.len;i++)
        for(j=1;j<=b.len;j++)
        {
            c.s[i+j-1]+=a.s[i]*b.s[j];//注意这里的计算
            c.s[i+j]+=c.s[i+j-1]/10;
            c.s[i+j-1]%=10;
        }
    ////////////////////////////
    len=a.len+b.len+1;
    while(len>1&&c.s[len]==0)
           len--;//舍去前面没用的0
    c.len=len;
}

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/// 高精度/单精度  {d为余数}
void divide(const hp &a,int b,hp &c,int &d)
{
    int i,len;
    for(i=1;i<=maxsize;i++)
         c.s[i]=0;//初始化为0
    len=a.len;
    d=0;
    //注意除法的计算要从高位向下除
    for(i=len;i>=1;i--)
    {
        d=d*10+a.s[i];//计算
        c.s[i]=d/b;//存入c中
        d%=b;//d为于数
    }
    ////////////////////////////////
    while(len>1&&c.s[len]==0)
        len--;//舍去前面没用的0
    c.len=len;
}

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/// 高精度*10
void multiply10(hp &a){
    int i;
    //乘上10就是每一位都向前移动，而s[1]=0；
    for(i=a.len;i>=1;i--)
        a.s[i+1]=a.s[i];
    a.s[1]=0;
    //////////////////////
    a.len++;
    while(a.len>1&&a.s[a.len]==0)
        a.len--;//舍去前面没用的0
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
///   高精度/高精度 　{d为余数}
void divideh(const hp &a,const hp &b,hp &c,hp &d)
{
    hp e;
    int i,len;
    //初始化
    for(i=1;i<=maxsize;i++)
    {
        c.s[i]=0;
        d.s[i]=0;
    }
    ////////////////////////////
    len=a.len;
    d.len=1;
    for(i=len;i>=1;i--)
    {
        multiply10(d);//高进度乘上10
        d.s[1]=a.s[i];
        while(compare(d,b)>=0)
        {
            subtract(d,b,e);
            d=e;
            c.s[i]++;
        }
    }
    while(len>1&&c.s[len]==0)
          len--;//舍去前面没用的0
    c.len=len;
}
///////////////////////////////////////////////////////////////////
hp sum[1003], p;//创建一个结构体数组
hp k;
int main()
{
       string a1="4";
       string a2="14";
       input(sum[1], a1);
       input(sum[2], a2);
       for(int i=3;i<=100;i++){
           multiply(sum[i-1],4,sum[i]);
           copy(p, sum[i]);
           subtract(p, sum[i-2], sum[i]);

       }
       int t;
       scanf("%d", &t);
       while(t--){
           cin>>str;
           input(k, str);
           int i;
           for(i=1;i<=100;i++)
           {
               if(compare(sum[i], k)>=0)
               {
                   print(sum[i]);
                   break;
               }
           }
       }
}